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Bitte beachte die Copyrighthinweise.

Nachdem der Support für mathematische Zeichen in HTML (MathML) noch etwas dürftig ist, sind die ganzen Sonderzeichen mit der Windowsschriftart "Symbol" formatiert.

Falls diese auf deinem System nicht installiert ist, hier die Zeichen:
e = epsilon
g = gamma
S = Summe
D = Delta
s = sigma
p = Pi
t = tau
r = rho
J = Theta
ò = Integralzeichen

1. Mechanik

1.1 Drehmoment

M = F · l

[Nm = N · m]

(+) = Linksdrehsinn (G-UZ)

(-) = Rechtsdrehsinn (UZ)

 

1.2 Kräftesätze

 

1.3 Gleichgewichtsbedingungen

S FX = 0; S FY = 0; S MZ = 0

FX = F·cos(a)

FY = F·sin(a)

Fx und Fy greifen am Körper an und sind reine Kräfte parallel zu den Koordinatenachsen, M berücksichtigt Kräfte mit Normalabstand. a zwischen x-Achse und Kraft (UZ-S).

Wirkende Momente bei S M addieren (M -> Kräftepaar).

 

1.4 Freimachen von Bauteilen

Ist die Richtung unbekannt -> Komponenten einzeichnen!

 

1.5 Kräfteverfahren

Vor der Anwendung sollte der wesentliche Körper freigemacht werden (Achtung: Kräfte, die auf Körper wirken, einzeichnen; nicht die, die er auf seine Umgebung ausübt)

3-Kräfteverfahren

Zielsetzung:

Ermittlung unbekannter (Stütz-)Kräfte für Gleichgewicht

Ausgangsvoraussetzung:

1 Kraft komplett gegeben, 1 Wirklinien und 1 Angriffspunkt.

4-Kräfteverfahren

Zielsetzung:

Ermittlung unbekannter (Stütz-)Kräfte für Gleichgewicht

Ausgangsvoraussetzung:

1 Kraft komplett gegeben, 3 Wirklinien der anderen Kräfte.

ACHTUNG: Die Resultierende wirkt von Anfangs zu Endpunkt der Einzelkräfte (also gegen den Einbahnverkehr im Krafteck), eine Stützkraft schließt das Krafteck (Einbahnverkehr, Gleichgewicht).

Seileckverfahren

Zielsetzung:

Zusammenfassen unbekannter Kräfte zu einer Resultierenden

Ausgangsvoraussetzung:

Kräfte komplett gegeben, Wirklinie und Angriffspunkt der Resultierenden nicht gegeben.

Schlußlinienverfahren

Zielsetzung:

Ermittlung von 2 unbekannten (Stütz-)Kräften für Gleichgewicht

Ausgangsvoraussetzung:

Kräfte komplett gegeben, 2 Angriffspunkte der Zwei Resultierenden gegeben.

 

1.6 Fachwerke

Vor der Ermittlung der inneren Kräfte müssen die äußeren rechnerisch/zeichnerisch ermittelt werden.

Vor der Lösung sollten immer die Stäbe (1, 2, ...) und während der Lösung die Knoten (röm. I, II, ...) der Reihe nach bezeichnet werden.

ACHTUNG: gleiche Stabkraft wirken in 2 den Knoten entgegengesetzt !!

1.6.1 Einzelkraftecke (zeichnerisch)

Für jeden Knoten ein Krafteck zeichnen:

  1. Einzeichnen der bekannten Kräfte
  2. falls unbekannte Kräfte <= 2 -> Knoten lösbar
  3. Richtung: Einbahnverkehr
  4. Zug oder Druck ?:
    Richtung im Lageplan direkt am Knoten eintragen.
    Falls Stab auf Knoten drückt und Knoten zurückdrückt -> Druckstab.
    Falls Stab am Knoten anzieht -> Zugstab.
  5. Markieren von Zug- u. Druckstäben:
    Druck: 1- Zug: 1+

1.6.2 Cremonaplan (zeichnerisch)

Beim Cremonaplan werden alle Einzelkraftecke in einem Gesamtbild vereinigt.

Zusätzlich zu Kraftecken beachten:

 

1.7 Schwerpunktslehre

Bei sym. Körper Schwerpunkt auf Symmetrieachse!

3 Schwerpunktslagen: stabil, labil, indifferent.

1.7.1 Linienschwerpunkt

Zeichnerisch mit Seileck:

wie Flächenschwerpunkt., nur Kraftlänge ist Umfang (egal ob Rechteck oder Kreis, etc.)

Schwerpunkt einfacher Körper:

vgl. Tabellen

1.7.2 Flächenschwerpunkt

Zeichnerisch mit Seileck:

X und Y getrennt; "Kraft"länge ist Fläche, Schnittpunkt der "resultierenden" Wirklinie ist Schwerpunkt.

Schwerpunkte einfacher Körper:

vgl. Tabellen

1.7.3 Guldinsche Regeln

Körper in mehrere Teilstücke zerlegen und Schwerpunkt (Linie/Fläche) bestimmen, dann:

1.7.3.1 Oberflächenberechnung (= Mantel)

Mantelflächen von Rotationskörpern entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse.

Die Fläche ist Produkt aus Länge der Profillinie und Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung:

A = 2× p × x0× l = 2× p × S lnxn

l ........ Länge der Profillinie

x0 ...... Schwerpunktsabstand der Profillinie von Drehachse (Linienschwerpunkt)

1.7.3.2 Volumsberechnung

Volumen von Drehkörpern entstehen durch Drehung ihrer Querschnittsfläche um die Symmetrieachse.

Das Volumen eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Profilfläche und ihren Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung:

V = 2× p × x0× A = 2× p × S Anxn

A ....... Profilfläche

x0 ...... Schwerpunktsabstand der Profilfläche von Drehachse(Flächenschwerpunkt)

1.7.4 Standsicherheit

Es muß eine eindeutige Kippachse geben.

Standsicherheit ist definiert:

S = MS / MK

MS ..... Standmoment

MK ..... Kippmoment

falls stabil -> S >= 1 (MS >= MK)

 

1.8 Reibung

1.8.1 Gleitreibung, Haftreibung, allg.

FR = µ FN

FR ...... Reibungskraft [N]

FN ...... Normalkraft [N]

µ ........ Gleitreibzahl [1]

µ0 ....... Haftreibzahl [1]

Bewegter Körper erfährt weniger Widerstand:
Haftreibzahl > Gleitreibzahl

Winkel, ab dem liegender Körper zu rutschen beginnt:

r = arctan (µ) r 0 = arctan (µ)

1.8.2 Schiefe Ebene s. Buch

1.8.3 Reibung an Maschinenteilen s. Buch

1.8.4 Gewindereibung

Dreieck mit Höhe P und Umfang 2·p ·r2 (r2 Flankendurchmesser) und Belastung ergeben schiefe Ebene.

1.8.4.1 Flachgewinde

Fu = F tan(a ± r )

(+) heben, (-) senken

a ....... Winkel der schiefen Ebene

F ....... Kraft, die am Gewinde axial durch Fu entsteht

Fu ..... Kraft, die waagrecht am Umfang wirkt

 

1.9 Zahnräder s. Buch

 

1.10 Festigkeitslehre

1.10.1 Schnittverfahren

Bei der Ermittlung der Inneren Kräfte und Spannungen wird des Werkstück der gewünschten Stelle geteilt und durch innere Gegenkräfte wieder ins Gleichgewicht gebracht.

Pol für die Momentbestimmung ist egal (Statik).

1.10.2 Grundbegriffe

Dehnung e [1] ist die Längenänderung bezogen auf die Ursprungslänge: e = D l/l0

mit: D l = l - l0

Querdehnung e q [1] ist die Dickenänderung bezogen auf die Ursprungsdicke: e q = D d/d0

mit D d = d - d0

Poisson-Zahl µ [1] ist das Verhältnis von Querdehnung zu Dehnung: µ = e q/e

Es gilt: µ <= ½.

Max. bei Gummi mit 0,5 (Vgummi = const); m Stahl = 0,3

Volumsänderungs-Zahl e [1] ist das Verhältnis von Volumsänderung zu Ursprungsvolumen und ist über e und µ ausdrückbar: e = D V/V0 = (1-2µ )· e

Bei Zug positives e, bei Druck negatives e.
Klammer immer positiv d.h.: µ <= ½.

Hookesche Gesetze:

s = e · E

t = g · G

s ,t .... Spannung [N/mm2]

e ........ Dehnung [1]

g ....... Schiebung [rad]

E ....... Elastizitätsmodul [N/mm2]

G ....... Schubmodul [N/mm2]

Zusammenhänge durch Umformen:

2G·(µ + 1) = E

D l = (F·l0)/(A·E)

1.10.3 Zug- und Druckbeanspruchung

s Zvorh = FN /A <= s Zzul

s Dvorh = FN /A <= s Dzul

FN ..... innere Normalkraft [N]

s ........ Spannung [N/mm2]

A ....... Fläche

Die Fläche ist immer der kleinste, "gefährdete" Querschnitt.

1.10.3.1 Agef Zugbeanspruchung

Für die Berechnung wird immer der kleinste am ganzen Bauteil auftretende Querschnitt verwendet.

Profilstab mit Querbohrung:

Agef = AStab - ABohrung =d 2 p /4 - 2r·d1

d ....... Durchmesser des Profilstabs

d1 ...... Bohrungsdurchmesser

Unter Vernachlässigung der kleinen Fläche oben und unten.

Gewinde:

Bei Gewinden wird der Spannungsquerschnitt AS verwendet (Tabellen).

Bei Bewegungsgewinden (z.B. Trapezgewinde) nimmt man den Kernquerschnitt.

1.10.3.2 Wärmespannung

Längenänderung D l eines Stabes:

D l = l0·a ·D J

Wärmespannung s J aufgrund Längenänderung:

s J = a ·D J ·E

a ......... Längenausdehnungskoeffizient [K-1] a st=12·10-6 K-1

E ......... Elastizitätsmodul [N/mm2]

Die Wärmespannung ist unabhängig von den Abmessungen des Stabes

1.10.3.3 Formänderungsarbeit

Zug- und Druckbeanspruchung:

Sie entspricht der Fläche unter der F-l Kurve:

Wf = ò F dl

Formänderungsarbeit Wf [J] im elastischen Bereich eines Werkstoffs (lineare Zunahme der Kraft; Dreiecksfläche):

Wf = ½·F·D l = (s 2·V)/(2·E) = (F2·l0)/(2·A·E)

Auf das Volumen bezogen ergibt sich:

u = Wf /V = ò s de

Dieses u entspricht der Fläche unter der Hookeschen Kurve.

1.10.3.4 Volums- u. Gestaltänderungsarbeit

Bei Zug-/Druckbeanspruchung.

Volumsänderungsarbeit durch Volumsänderung:

uV = s 2 (1-2µ )/(6·E)

Gestaltänderungsarbeit durch Gestaltänderung:

uG = s 2 (1+µ )/(3·E)

1.10.4 Abscherbeanspruchung (Schub)

t a vorh = Fq /S <= t zul

t ...... Schubspannung [N/mm2]

Fq .... Querkraft

S ...... Fläche, an der die Abscherung auftritt,Fehlerquelle!

Definition g :

g = Verschiebung D l / Schnittuferabstand l0

z.B. bei einem Würfel, dessen gegenüberliegende Seitenflächen gegeneinander verschoben werden.

Für kleine Winkel (Normalfall): tan(g ) ungefähr g

1.10.5 Flächenpressung

pvorh = FN /A <= pzul

p ...... Flächenpressung [N/mm2]

FN .... Kraftkomponente, welche normal auf Fläche wirkt

A ...... Berührungsfläche

Bei Wellen, Kegeln od. sonstigen Schrägen ist p leichter ermittelbar, wenn man die projizierte Fläche, auf die die Kraft wirkt, verwendet:

p = F/Aproj

Am Gewinde: Wirksam sind mehrere Kreisringe aus der Fläche, an dem die Zähne aufliegen.

1.10.6 Zul. Spannungen

Für ruhende Belastung gilt:

s Zzul = 0,6 · Re

Die zulässige Spannung hängt von der Beanspruchungsart (z.B. GG hat verschiedene Re bei Zug, Druck, Biegung, ...), von der Temperatur und von der Belastungsart (ruhend, schwellend, wechselnd) ab.

Beispiele für Namen:

s Zsch ....... Zugbeanspruchung schwellend

t aWzul ...... zul. Abscherspannung bei wechselnder Belastung

1.10.7 Flächen- u. Widerstandsmomente

Flächenmomente 1. Grades bei Guldin (S An·xn)

Flächenmomente 2. Grades I [mm4]:

erhält man, in dem man jedes Flächenteilchen D A mit dem Abstandsquadrat q2 (von Bezugsachse oder Bezugspunkt) multipliziert und addiert:

I = ò q2 dA

Widerstandsmoment W [mm3]

erhält man durch den Bezug von I auf den Randfaserabstand (Biegung: ex, ey, Torsion: r)

W = I/e; Wp = I/r

X/Y-Achse: Bezugsachse ist jene neutrale Faser, um die gebogen oder gedreht wird.

1.10.8 Biegebeanspruchung s b

1.10.8.1 Biegehauptgleichung:

s bvorh = Mb /W <= s bzul

s bvorh ... Biegespannung [N/mm2]

Mb ...... Biegemoment [Nm], [Nmm2]

W ....... axiales Widerstandsmoment [mm3]

  1. gilt nur, wenn die Stabachse nicht gekrümmt ist (Kranhaken).
  2. Alle F in einer Ebene mit Stabachse.
  3. Querschnitte bleiben bei Beanspruchung eben (keine Wellen od. Verformungen).
  4. Es gilt das Hookesche Gesetz.
  5. E-Modul ist für Zug und Druck gleich.
  6. Spannungen bleiben unter Proportionalitätsgrenze.

Vor der Ermittlung des Fq und Mb-Verlaufs immer Lagerkräfte und -momente berechnen.

Für richtiges Vorzeichen bei allen F u. M von der gleichen Seite beginnen! Für jeden Knotenpunkt (incl. ganz linken) Gegenkraft u. -moment bestimmen.

1.10.8.2 Querkraftverlauf

Nur Normalanteil der Kraft relevant.
Oftmalige Anwendung des Schnittverfahrens.
Einfacher: Auf Träger rückwärtsschreitend von links nach rechts gehen, Fq immer so groß wie die Summe der Kräfte, die man sieht.

Am Anfang und Ende eines Träger immer null.

Pos. und neg. Fläche muß gleich groß sein.

Normale Kräfte: || X-Achse

Streckenlast: linearer Anstieg

1.10.8.3 Biegemomentenverlauf, Mbmax

Rechnerisch:

Oftmalige Anwendung des Schnittverfahrens. Mbmax mit Kurvendiskussion.
Einfacher: Mb entspricht der Fq-Fläche (Vorzeichen beachten)

Mbmax tritt immer an Nullstelle von Fq auf.

Graphisch:

Lagerkräfte mit Schlußlinienvefahren ermitteln, Kräfte der Reihe nach auftragen (z.B. l.n.r in F-Plan entspricht o.n.u. in Krafteck).

Mbmax = ymax·H·MK·ML

ymax ... max. Abstand zwischen Seilstrahlen [mm]

H ....... Polabstand (Normalabstand Krafteck-Pol) [mm]

MK .... Kräftemaßstab [N/mm] [kN/mm]

ML .... Längenmaßstab [m/mm]

Beim Einsetzen der Maßstäbe sollten sich die Einheiten von ymax und H wegkürzen.

An freien Enden eines Träger immer null.

Wo Fq positiv, steigt Mb und umgekehrt.

Desto größer Fq, desto stärker steigt Mb.

Normale Kräfte: linearer Anstieg

Streckenlast: parabolischer Verlauf

1.10.8.4 Rahmen

Zuerst immer Lagerkräfte berechnen (Rahmen als einen Körper betrachten), dann in mehrere Träger aufspalten.

Achtung: An Knoten können Sprungstellen Mb auftreten.

1.10.8.5 Durchbiegung

f ....... Durchbiegung

AM ... Momentenfläche (A unter Mb-Kurfe)

x0 ..... Schwerpunktsabstand

l ....... Gesamtlänge des Trägers

F ...... Kraft

Überlagerungsprinzip bei gemischter Belastung gilt!

 


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Letztes Update vom 24.Sept.2004 von Florian Rosenauer