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g = gamma
ò = Integralzeichen

Mathematik

Summensätze

1. sin²(a ) + cos²(a ) = 1
2. cosh²(a ) - sinh²(a ) = 1
3. tan(a ) = sin(a )/cos(a )
4. 1 + tan²(a ) = 1/[cos²(a )]
5. sin(a +b ) = sin(a )·cos(b ) + cos(a )·sin(b )
6. sin(a -b ) = sin(a )·cos(b ) - cos(a )·sin(b )
7. sin(2a ) = 2 sin(a )·cos(a )
8. cos(a +b ) = cos(a )·cos(b ) - sin(a )·sin(b )
9. cos(a -b ) = cos(a )·cos(b ) + sin(a )·sin(b )
10. cos(2a ) = cos²(a ) - sin²(a )
11. tan(a+b) = [tan(a) + tan(b)]/[1 - tan(a)·tan(b)]
12. tan(a-b) = [tan(a) - tan(b)]/[1 + tan(a)·tan(b)]
13. sin(a ) + sin(b ) = 2 sin( (a +b )/2 )·cos( (a -b )/2 )
14. sin(a ) - sin(b ) = 2 cos( (a +b )/2 )·sin( (a -b )/2 )
15. cos(a ) + cos(b ) = 2 cos( (a +b )/2 )·cos( (a -b )/2 )
16. cos(a ) - cos(b ) = -2 sin( (a +b )/2 )·sin( (a -b )/2 )
17. sin²(a ) = [1-cos(2a )]/2;   cos² = [1+ cos(2a )]/2
18. cosh(x) = (e^x + e^-x)/2;   sinh(x) = (e^x - e^-x)/2

Sinus-/Cosinussatz

• a₁ / sin(a) = b₁ / sin(b) = c₁ / sin(g)
• c² = a² + b² - 2 ab cos(g )
  (Seiten vertauschbar)

Differenzieren

[ k₁ + k₂· xⁿ ]' = k₂· n · x^n-1

Ableitung spezieller Funktionen:

[ sin(x) ]' = cos(x)

[ cos(x) ]' = -sin(x)

[ e^x ]' = e^x

[ a^x ]' = a^x ln(a)

[ tan(x) ]' = 1/cos²(x) oder: 1 + tan²(x)

[ sinh(x) ]' = cosh(x)

[ cosh(x) ]' = sinh(x)

[ ln(x) ]' = 1/x

[ arctan(x) ]' = 1/(1+x²)

Regeln:

[ f(x)·g(x) ]' = f(x)' g(x) + f(x) g(x)'

[ f(x)/g(x) ]' = {f(x)' g(x) - f(x) g(x)'}/g(x)²

Newton'sche Näherungsmethode

Nullstelle bei Vorzeichenwechsel.

Nächstgenauerer Wert: x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

Kurvendiskussionen

Nullstellen: f(x) = 0

Extremwerte: f'(x) = 0

f''(x) > 0 -> MIN

f''(x) < 0 -> MAX

Wendepunkte: f''(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0

Asymptoten: mit Limesbildung

Integrieren

Grundintegrale

ò 1 dx = x + C

ò xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

ò 1/x dx = ln | x | + C

ò sin(x) dx = -cos(x) + C

ò cos(x) dx = sin(x) + C

ò e^x dx = e^x + C

ò a^x dx = a^x/ln(a) + C

ò sinh(x) dx = cosh(x) + C

ò cosh(x) dx = sinh(x) + C

ò sin²(x) dx = [x - ½·sin(2x)]/2 + C

ò 1/cos²(x) dx = ò 1 + tan²(x) dx = tan(x) + C

ò 1/(1+x²) dx = arctan(x) + C

ò ln(x) dx = x ln(x) - x + C

Regeln

ò f(x) ± g(x) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx

Substituieren

Ist von einer Funktion eine innere Ableitung vorhanden, muß durch diese dividiert werden.

Partielles Integrieren

ò f' · g = f · g - ò f · g'

Uneigentliches ò

Grenzen oder Funktionswert gegen unendlich.

Mit Limesbildung beim Einsetzen.

Matrizen

n x m - Matrix

n....... Zeilen

m...... Spalten

Assoziativgesetz (a·b)·c = a·(b·c) gilt.

Kommutativgesetz a·b = b·a gilt nicht.

A·B = 0 -> A = 0 und B = 0 gilt nicht.

1 = E = Einheitsmatrix, in der Diagonale l.o.-r.u. nur "1", sonst "0".

0 = Nullmatrix, nur Nullen.

Tips & Tricks

• det(A) = det(A^T)
• det(A^-1) = (det A)^-1
• Matrix mit einer Zeile/Spalte Nullen hat det(A) = 0.
• Matrix mit zwei gleichen Zeilen/Spalten hat det(A) = 0.
• Bewegungsmatrizen haben immer det(A) = 1.
• Für reine Drehmatrizen (eine/mehrere Drehungen) gilt A^-1 = A^T.
• A_S · A_{a b g} kann man "addieren".

Wichtige Formeln

Geometrie

Umladefunktion

s(t) = S_end – (S_end – S_anf) exp(t/tau)

Quadratische Gleichungen

a · x² + b · x + c = 0

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Letztes Update vom 30.Okt.1999 von Florian Rosenauer